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Beitrag von Roland Stamm

 

Ist f:R^n nach R differenzierbar, so ist die Steigung von f im Punkt x in Richtung des Einheitsvektors v definiert als df/dv (x) = <grad f(x), v>, was natürlich auch negativ sein kann. Dabei ist grad f(x) = <df/dx_1(x), ... , df/dx_n(x)>. Es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |<grad f(x), v>| ≤ |grad f(x)| |v| = |grad f(x)|. Setzt man für grad f(x) ≠ 0: v = grad f(x)/|grad f(x)|, so ist v ein Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie grad f(x) zeigt, und es ist |<grad f(x), v>| = |grad f(x)|, d.h. die CS-Ungleichung wird für v zur Gleichung. Also zeigt grad f(x) in die Richtung des stärksten Anstiegs (oder Gefälles).

Viele Grüße
Roland

 

 

 

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