Rotationssymmetrien

In dem Artikel von M. du Sautoy wird kurz angedeutet, dass sich die Drehgruppe des 15-Ecks aus den Drehgruppen des Pentagons und des Dreiecks zusammensetzen lässt. In seinem Buch "Symmetry" präzisiert du Sautoy die Möglichkeiten der Drehgruppen wie folgt: "If you take a regular two-dimensional polygon with a prime number of sides, then the rotational symmetries of this prime-sided shape cannot be built from those of smaller objects. Not only that, but these prime-sided figures are the building blocks for the symmetries of all the other regular two-dimensional polygons." Du Sautoy gibt mit dem regulären 105-Eck ein weiters Beispiel, dess Drehgruppe sich aus den Drehgruppen eines "eingeschriebenen" Dreiecks, Pentagons und 7-Ecks erstellen lässt.
Wie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regulären zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons lässt sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache ähnlich bildlich darstellen kann, wie es für das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine Möglichkeit, diesen Fall ähnlich anschaulich zu zeigen?

C. Grießmann, Wächtersbach

 

Antwort der Redaktion:
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so schön wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.
Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der ursprünglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das heißt, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Natürlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung dafür will mir nicht einfallen.
Christoph Pöppe